ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1.9

 

 Οι εξισώσεις προσδιορισμού της ταχύτητας και της θέσης ενός κινητού στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.

 

Για να περιγράψουμε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να προσδιορίσουμε την ταχύτητα του κινητού και τη θέση του. Οι εξισώσεις που μας δίνουν τις πληροφορίες αυτές, λέγονται εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης και προκύπτουν ως:

 α) Η εξίσωση της ταχύτητας.

 β) Η εξίσωση της κίνησης.

 

 α) Η εξίσωση της ταχύτητας.

 

Από τον ορισμό της επιτάχυνσης προκύπτει ότι η μεταβολή της ταχύτητας στο χρόνο Δt είναι:

 

 

Av τη χρονική στιγμή μηδέν, η ταχύτητα του κινητού είναι υ₀ (αρχική ταχύτητα) και τη χρονική στιγμή t είναι υ, τότε η μεταβολή είναι:

 

 

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

Επειδή τα διανύσματα είναι συγγραμμικά στην ευθύγραμμη κίνηση, η πρόσθεσή τους ανάγεται σε αλγεβρική πρόσθεση των τιμών τους. Μπορούμε λοιπόν να καθορίσουμε θετική και αρνητική φορά (Εικ. 1.1.16), και να οδηγηθούμε στην αλγεβρική μορφή των προηγούμενων εξισώσεων:   στην επιταχυνόμενη κίνηση: υ = υ0 + α t   στην επιβραδυνόμενη κίνηση: υ = υ0 - α t   Av η αρχική ταχύτητα είναι υ0 = 0 προκύπτει:                  υ = α t       ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ  Στα παραδείγματα που έχουμε δει για την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του κινητού διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ.,όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό  Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο της ταχύτητας:  Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό.  Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση:                                                                                      υ=α·t ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ  Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο της ταχύτητας,κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών.  Η εξίσωση της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο, είναι εξίσωση πρώτου βαθμού και μπορεί να παρασταθεί γραφικά σε διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου με ευθεία γραμμή. Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου (υ-t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση  με αρχική ταχύτητα υ0=0  Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο υ=α·t όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία. Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου (υ-t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση  με αρχική ταχύτητα υ0   Για το διάγραμμα αυτό αρκούν δύο σημεία,γιατί όπως είπαμε η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή.Αν πάρουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα,έχουμε τη γραφική παράσταση του παρακάτω σχήματος.  Ας υποθέσουμε ότι τώρα το  κινητό επιταχύνεται ομαλά σε ευθύγραμμο τμήμα με αρχική ταχύτητα υ0 και τελική υ σε χρόνο t.Όπως και προηγουμένως, παίρνουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα,οπότε έχουμε τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση . Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο,δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση  Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο,Δυ/Δt,με το οποίο έχουμε ορίσει την επιτάχυνση,συμπεραίνουμε ότι:  Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο,δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.                                                                                      Κλίση ευθείας:Δυ/Δt=α  Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού,θα είναι ευθεία γραμμή,παράλληλη στον άξονα του χρόνου t. Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού, θα είναι ευθεία γραμμή, παράλληλη στον άξονα του χρόνου t  Το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης (ευθείας) και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου είναι:                                                                                      Ε=βάση·ύψος=υ  Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας κατά την χρονική διάρκεια της επιτάχυνσης του κινητού.Άρα το εμβαδόν,μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο,και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου,είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ. Το εμβαδόν,μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο,και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου,είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ  Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο υ=f(t) και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο α=f(t) στην περίπτωση της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης.  β) Η εξίσωση της κίνησης.     H εξίσωση κίνησης, δηλαδή ο προσδιορισμός της θέσης ενός αντικειμένου, το οποίο επιταχύνεται ομαλά, σε συνάρτηση με το χρόνο, προκύπτει με γραφικό τρόπο από το διάγραμμα υ = f(t).   Το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων υ, t είναι ίσο με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.  Οπότε, αν υπολογίσουμε το εμβαδόν, χρήσιμοποιώντας αντί των αριθμητικών τιμών, τα σύμβολα υ, υ0, t, οδηγούμαστε στην εξίσωση για τη μετατόπιση Δx. Δηλαδή:   Ετραπ = αθροισμα βασεων2 · υψος   ή   Δx = υ + υ0 2 (t - 0)   Αλλά γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα είναι: υ = υ0 + αt. Συνεπώς:   Δx = υ0 + αt + υ02 t = 2υ0t + αt22   ή   Δx = υ0t + 12αt2   και αν x0 = 0, έχουμε:   x = υ0t + 12αt2   Ομοίως στην ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση προκύπτει ότι:   x = υ0t - 12αt2

  

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

 Στην κίνηση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ότι το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο τετραπλασιάζεται,εννιαπλασιάζεται κ.λπ.,όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται,τριπλασιάζεται κ.λπ.

Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό

 Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο του διαστήματος:

 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό.

 Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση:

                                                                                     x=1/2·α·t²

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

 Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο του διαστήματος,κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών.

 Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο x=1/2·α·t² όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία.

Γραφική παράσταση της θέσης x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση,με αρχική ταχύτητα

 Η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση είναι καμπύλη.Αυτό γιατί όπως προκύπτει από τη σχέση x=υ0·t+1/2·α·t²,η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο.

Γραφική παράσταση του διαστήματος (θέσης) x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση,με αρχική θέση x0 και αρχική ταχύτητα

 Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή της γραφικής παράστασης της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο x=f(t),στη ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

 

 

 

 

                                                                     (Πηγη:https://physiclessons.blogspot.com/2012/11/blog-post_18.html)

 

Βοήθητικο βίντεο:

 

 

Ασκήσεις στην ευθύγραμμη κίνηση για εξάσκηση:

Πατήστε εδώ για λήψη